29 Giugno 2022
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La superficie può essere più grande del volume?

Introduzione: I parametri bidimensionali e tridimensionali degli organismi (cioè superficie e volume) non necessariamente aumentano o diminuiscono proporzionalmente agli aumenti o alle diminuzioni dei parametri monodimensionali o lineari (cioè la lunghezza). Per esempio, maggiore è il diametro di un organismo unicellulare, minore è la sua superficie relativa al suo volume. Il rapporto superficie/volume è un modo di esprimere la relazione tra questi parametri al variare delle dimensioni di un organismo.

Importanza: I cambiamenti nel rapporto superficie/volume hanno importanti implicazioni per i limiti o i vincoli delle dimensioni di un organismo, e aiutano a spiegare alcune delle modifiche viste negli organismi più grandi.

Domanda: Come si calcola il rapporto superficie/volume, e come cambia esattamente al variare delle dimensioni? Quali modifiche mostrano gli organismi più grandi per aggirare questo problema?

Variabili:

S superficie (unità al quadrato)
V volume (unità al cubo)
l lunghezza (unità)
r raggio (unità)

Metodi: Per un organismo unicellulare (o una cellula nel corpo di un organismo multicellulare, se è per questo), la superficie è un’interfaccia critica tra l’organismo/cellula e il suo ambiente. Lo scambio di materiali avviene spesso attraverso il processo di diffusione, in cui le molecole disciolte o altre particelle si spostano da aree di maggiore concentrazione ad aree di minore concentrazione (anche se alcuni scambi sono mediati da meccanismi cellulari). Questo tipo di scambio è un processo passivo, e di conseguenza impone dei vincoli alle dimensioni di un organismo unicellulare o di una cellula. I materiali devono essere in grado di raggiungere rapidamente tutte le parti di una cellula, e quando il volume è troppo grande rispetto alla superficie, la diffusione non può avvenire a tassi sufficientemente alti per garantire questo.

Inizieremo con un promemoria di alcune formule geometriche di base. La superficie e il volume di un cubo possono essere trovati con le seguenti equazioni:

dove S = superficie (in unità quadrate), V = volume (in unità al cubo), e l = la lunghezza di un lato del cubo.

Le equazioni per la superficie e il volume di una sfera sono

dove r è il raggio della sfera.

Si noti che per qualsiasi aumento, x * l o x * rin lunghezza o raggio, l’aumento della superficie è x al quadrato (x 2 ) e l’aumento di volume è x al cubo (x 3 ). Per esempio, quando la lunghezza è raddoppiata (es, x = 2) la superficie è quadruplicata (2 2 = 4) non raddoppiata, e il volume è ottuplicato (2 3 = 8) non triplicato. Allo stesso modo, quando la lunghezza è triplicata (x = 3) la superficie è aumentata di nove volte (3 2 = 9) e il volume è aumentato di ventisette volte (3 3 = 27). L’aumento di volume è sempre maggiore dell’aumento di superficie. Questo è vero per i cubi, le sfere o qualsiasi altro oggetto la cui dimensione viene aumentata senza cambiare la sua forma.

Interpretazione: Ogni punto sul grafico qui sotto rappresenta la superficie e il volume per i cubi che aumentano di un’unità di lunghezza, partendo da un cubo con l = 1. Il punto arancione più grande è la dimensione del cubo (l = 6) in cui la superficie e il volume hanno valori uguali (anche se le unità sono diverse: una è l’unità 2 e una è l’unità 3). Per i cubi più piccoli di questo, la superficie è maggiore rispetto al volume rispetto ai cubi più grandi (dove il volume è maggiore rispetto alla superficie).

A volte un grafico che mostra come cambia la relazione tra due variabili è più istruttivo. Per esempio, un grafico del rapporto tra superficie e volume,

illustra chiaramente che all’aumentare delle dimensioni di un oggetto (senza cambiare forma), questo rapporto diminuisce. Matematicamente, questo ci dice che il denominatore (volume) aumenta più velocemente rispetto al numeratore (superficie) all’aumentare delle dimensioni dell’oggetto. La stella sulla linea (a l = 6) rappresenta lo stesso punto menzionato sopra: questa è la dimensione del cubo dove S e V hanno valori uguali, e quindi il rapporto superficie/volume è uguale a uno.

Conclusioni: Gli organismi presentano una varietà di modifiche, sia fisiologiche che anatomiche, per compensare i cambiamenti nel rapporto superficie/volume associati alle differenze di dimensioni. Un esempio di questo è il più alto tasso metabolico trovato negli animali più piccoli (omeotermi). A causa della loro grande superficie rispetto al volume, gli animali piccoli perdono calore a tassi molto più elevati rispetto agli animali grandi, e quindi devono produrre più calore per compensare gli effetti della conduttanza termica. Un altro esempio è la varietà di sistemi di trasporto interno che si sono sviluppati nelle piante e negli animali per muovere attivamente i materiali in tutto l’organismo, permettendo loro di aggirare i limiti imposti dalla diffusione passiva. Molti organismi hanno sviluppato strutture che effettivamente aumentano la loro superficie: le foglie degli alberi, i microvilli del rivestimento dell’intestino tenue, i peli delle radici e i capillari, le pareti convolute delle arterie, per nominarne solo alcuni.

Domande aggiuntive: Calcolare e rappresentare graficamente il rapporto tra superficie e volume per sfere che aumentano con incrementi di una unità (a partire da r = 1). Confrontate il rapporto S:V di sfere e cubi di dimensioni comparabili (2ro diametro, = l).

Credito extra: Fai un grafico delle superfici (asse x) e dei volumi (asse y) di queste sfere su un grafico standard e un grafico log-logico. Cosa succede alla linea? Perché?

Fonti: Schmidt-Nielson, K. 1984. Scalare: Why is Animal Size so Important? Cambridge University Press, New York, NY.

Vogel, S. 1988. I dispositivi della vita: The Physical World of Animals and Plants. Princeton University Press, Princeton, NJ.

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