28 Giugno 2022
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Cos’è un ciclo in algebra astratta?

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Un ciclo di permutazione è un sottoinsieme di una permutazione i cui elementi si scambiano di posto tra loro. I cicli di permutazione sono chiamati “orbite” da Comtet (1974, p. 256). Per esempio, nel gruppo delle permutazioni, (143) è un ciclo 3 e (2) è un ciclo 1. Qui, la notazione (143) significa che partendo dall’ordinamento originale, il primo elemento è sostituito dal quarto, il quarto dal terzo, e il terzo dal primo, cioè, .

C’è molta libertà nella scelta della rappresentazione di una decomposizione ciclica poiché (1) i cicli sono disgiunti e possono quindi essere specificati in qualsiasi ordine, e (2) qualsiasi rotazione di un dato ciclo specifica lo stesso ciclo (Skiena 1990, p. 20). Pertanto, (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314), e (2)(143) descrivono tutti la stessa permutazione. La seguente tabella fornisce l’insieme delle rappresentazioni per ogni elemento del gruppo simmetrico su tre elementi, ordinate nell’ordine canonico più basso (prima per lunghezza del ciclo, e poi per ordine iniziale più basso degli elementi).

permutazione di notazione
(1)(2)(3)
(1)(23)
(3)(12)
(123)
(132)
(2)(13)

La decomposizione ciclica di una permutazione può essere calcolata nel linguaggio Wolfram con la funzione PermutationCycles[p] e la permutazione corrispondente ad una decomposizione ciclica può essere calcolata con PermutationList[c]. Qui, i singoli cicli sono rappresentati utilizzando la funzione Cicli. Nelle versioni precedenti, la decomposizione ciclica poteva essere calcolata in modo meno efficiente usando ToCycles[p] nel pacchetto Wolfram Language Permutazioni` e la permutazione corrispondente ad una decomposizione ciclica poteva essere calcolata usando FromCycles[c1, . cn] nel pacchetto Wolfram Language Permutazioni` . Secondo Vardi (1991), il codice del linguaggio Wolfram per ToCycles è uno dei più oscuri mai scritti.

Ogni gruppo di permutazione su simboli può essere espresso univocamente come un prodotto di cicli disgiunti (Skiena 1990, p. 20). Una decomposizione dei cicli di una permutazione può essere vista come una classe di un gruppo di permutazione.

Il numero di -cicli in un gruppo di permutazione di ordine è dato da

dove sono i numeri di Stirling del primo tipo. Più in generale, sia il numero di permutazioni di avere esattamente dei cicli tutti di lunghezza . sono talvolta chiamati i numeri di Stirling associati del primo tipo (Comtet 1974, p. 256). Le quantità appaiono in un’espressione in forma chiusa per i coefficienti di nella serie di Stirling (Comtet 1974, p. 257 e 267). La seguente tabella fornisce i triangoli per .

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