25 Gennaio 2022
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Cos’è il teorema di Pitagora in parole?

Il teorema di Pitagora è un modo molto comodo per trovare la lunghezza di un qualsiasi lato di un triangolo rettangolo se si conosce la lunghezza degli altri due lati.

Tabella dei contenuti

Cos’è il teorema di Pitagora?

Il Teorema di Pitagora afferma che nei triangoli rettangoli, la somma dei quadrati delle due gambe (a e b) è uguale al quadrato dell’ipotenusa (c).

Definizione del teorema di Pitagora

Storia del teorema di Pitagora

Il Teorema di Pitagora prende il nome e viene scritto dal matematico greco Pitagora. Pitagora si pronuncia (“pi-thag-uh-rus,” con un suono breve “I” nella prima sillaba; pi come in pin), ma il teorema è stato descritto in molte civiltà del mondo. Il teorema si pronuncia “pi-thag-uh-ree-uhn”.

Formula del teorema di Pitagora

In qualsiasi triangolo rettangolo A B C , il lato più lungo è l’ipotenusa, di solito etichettata come c e opposta ∠C. Le due gambe, a e b , sono opposte ∠ A e ∠ B . ∠ C è un angolo retto, 90°, e ∠ A + ∠ B = 90° (complementare).

I tre lati mantengono sempre un rapporto tale che la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell’ipotenusa. In termini matematici si presenta così:

Formula del teorema di Pitagora

Come usare il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora può essere usato per trovare la lunghezza dell’ipotenusa se si conoscono le lunghezze delle gambe a e b.

Risolvere per c

Supponiamo di avere la gamba a = 5 centimetri e b = 12 centimetri:

Teorema di Pitagora - Risolvi per c

Passi del Teorema di Pitagora spiegati

Cominciamo con la nostra formula:

Poi inseriamo la lunghezza di ogni gamba:

Moltiplichiamo ogni numero per se stesso:

Ora prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati:

Quindi si prende la radice principale di entrambi i lati e si ottiene:

Risolvi per a o b

Puoi conoscere la lunghezza dell’ipotenusa e di una gamba e usare comunque il teorema di Pitagora. Supponiamo che tu sappia che c = 40 piedi e la gamba corta a = 24 piedi.

Teorema di Pitagora - Risolvere per b

Passo dopo passo

Per prima cosa, inserisci quello che sai:

Moltiplica ogni numero per se stesso, poi aggiungi:

Poi, devi sottrarre la lunghezza a 2 da entrambi i lati, per isolare b 2 :

Sul lato sinistro ci rimane solo b 2 .

Ora prendi la radice quadrata di entrambi i lati:

Prendi la radice principale di entrambi i lati e ottieni:

Controllare la risposta

Quindi il nostro triangolo rettangolo aveva gambe a = 24 , b = 32 , e ipotenusa c = 40 . Se non credi alla tua risposta, inserisci tutti e tre i numeri nel Teorema di Pitagora:

Controlliamo se i numeri si sommano:

Tutto quadra; avevamo ragione! E i nostri numeri erano bei numeri interi, il che ha reso il lavoro facile.

Teorema di Pitagora con radici quadrate

Supponiamo di aver bisogno della lunghezza dell’ipotenusa c . Allora hai semplicemente bisogno della radice quadrata della somma di a 2 + b 2 , in questo modo:

Se hai bisogno di trovare la gamba corta a , manipola la formula in modo che assomigli a questa:

E se hai bisogno di trovare la gamba più lunga b, riscrivi la formula in questo modo:

Problemi di parole sul teorema di Pitagora

La scala di prolunga di un vigile del fuoco è appoggiata a un edificio, quindi la sua cima tocca appena le grondaie sul bordo del tetto. Sai che la scala è lunga 41 piedi ed è a 9 piedi dal muro dell’edificio. Quanto è alto l’edificio?

Problemi di parole sul teorema di Pitagora

La scala è l’ipotenusa, 41′, e la gamba a è la gamba corta, 9′. Inserisci ciò che sai in una delle due formule che vuoi usare per risolvere la gamba lunga b:

Inizia con la nostra formula:

Per prima cosa, inserisci ciò che sai:

Moltiplica ogni numero per se stesso, poi aggiungi:

Poi, devi sottrarre la lunghezza a 2 da entrambi i lati, per isolare b 2 :

Sul lato sinistro ci rimane solo b 2 .

Ora prendi la radice quadrata di entrambi i lati:

Prendi la radice principale di entrambi i lati e ottieni:

Risolviamo in un altro modo!

Se hai bisogno di trovare la gamba più lunga b, riscrivi la formula in questo modo:

Esempi di Teorema di Pitagora

Trova le risposte a questi cinque problemi del Teorema di Pitagora:

Esempio #1

Trova l’ipotenusa c per un triangolo rettangolo con la lunghezza della gamba corta a = 6 e la lunghezza della gamba lunga b = 8 :

Esempio #2

Trova la gamba corta a per un triangolo rettangolo con la lunghezza della gamba lunga b = 24 e la lunghezza dell’ipotenusa c = 25 :

Esempio #3

Trova la gamba lunga b per un triangolo rettangolo con la lunghezza della gamba corta a = 65 e la lunghezza dell’ipotenusa c = 97 :

Esempio #4

Trovare la gamba corta a per un triangolo rettangolo con la lunghezza della gamba lunga b = 60 e la lunghezza dell’ipotenusa c = 68 :

Esempio #5

Trova la gamba lunga b per un triangolo rettangolo con la lunghezza della gamba corta a = 60 e la lunghezza dell’ipotenusa c = 100 :

Triangoli pitagorici

La ragione per cui i nostri problemi di esempio sono finiti con numeri interi belli e puliti è perché abbiamo usato le triple pitagoriche, o tre numeri interi che funzionano per soddisfare il teorema di Pitagora.

La più piccola tripla pitagorica è 3, 4, 5 (un triangolo rettangolo con gambe di 3 e 4 unità e un’ipotenusa di 5 unità). Tutti i multipli di questa tripla anche essere triple:

L’elenco non finisce mai e comprende uno dei nostri esempi: 24, 32, 40. Esistono anche altre triple pitagoriche:

5, 12, 13 (quella l’abbiamo usata nel nostro esempio!)

Anche questa lista non finisce mai!

Prova del Teorema di Pitagora

Esistono migliaia di prove di questo teorema, compresa una del presidente degli Stati Uniti James Garfield (prima che diventasse presidente). Una dimostrazione è facile da fare con carta millimetrata, una riga, una matita e delle forbici.

Costruisci △ A B C con le gambe a e b a sinistra e in basso e l’ipotenusa c in alto a destra. La gamba a è opposta a ∠ A , la gamba b è opposta a ∠ B , e l’ipotenusa c è opposta all’angolo retto C .

Sia la lunghezza a = 3 , b = 4 , e l’ipotenusa c = 5 .

Triangolo rettangolo

Come dimostrare il teorema di Pitagora

Costruisci un quadrato usando la gamba a come lato destro del quadrato. Sarà di 9 unità quadrate ( a 2 ). Costruisci un quadrato usando la gamba b come lato superiore del quadrato, quindi sarà di 16 unità quadrate ( b 2 ). Ritaglia un altro quadrato 5 x 5 e allinealo con l’ipotenusa c, così il quadrato è c 2 .

Pensa: quanto fa 9 unità quadrate + 16 unità quadrate? Sono 25 unità quadrate, l’area di c 2 .

Prova del teorema di Pitagora

Riassunto della lezione

Se hai lavorato attentamente, ora dovresti sapere cos’è il Teorema di Pitagora, riconoscerlo quando lo vedi e applicarlo per risolvere problemi di geometria. Puoi usarlo per trovare la lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo rettangolo se conosci le lunghezze degli altri due lati. Abbiamo anche imparato a dimostrare il teorema di Pitagora.

Lezione successiva:

Cosa hai imparato:

Una volta che ti fai strada attraverso il grande video, esamini i grafici e leggi le informazioni qui, imparerai a:

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